Winkelfunktionen

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Mit trigonometrischen Funktionen oder auch Winkelfunktionen bezeichnet man rechnerische Zusammenhänge zwischen Winkel und Seitenverhältnissen.

Inhaltsverzeichnis

Rechtwinkliges Dreieck

Rechtwinkliges Dreieck \begin{align} \sin\alpha & = \frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}} & = \frac{a}{c}\\ \cos\alpha & = \frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}} & = \frac{b}{c}\\ \tan\alpha & = \frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha} & = \frac{a}{b}\\ \sin\beta & = \frac{\text{Gegenkathete von }\beta}{\text{Hypotenuse}} & = \frac{b}{c}\\ \cos\beta & = \frac{\text{Ankathete von }\beta}{\text{Hypotenuse}} & = \frac{a}{c}\\ \tan\beta & = \frac{\text{Gegenkathete von }\beta}{\text{Ankathete von }\beta} & = \frac{b}{a}\\ \end{align}

Winkelsumme

\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}

Einheitskreis

Einheitskreis

Sinussatz

Formel 1:

\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma }
\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }
\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}=2r
\ a : b : c = \sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma (Verhältnisgleichung)

Formel 2: wenn α = 90°

\sin \beta =\frac{b}{a}
\sin \gamma =\frac{c}{a}

Kosinussatz

Formel 1:

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos \alpha
b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\ \cos \beta
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\ \cos \gamma
\cos \alpha =\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}
\cos \beta = \frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}
\cos \gamma =\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}
a^{2}+bc\ \cos \alpha =b^{2}+ca\ \cos \beta =c^{2}+ab\ \cos \gamma =\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}

Formel 2: wenn α = 90°

\cos \beta =\frac{c}{a}
\cos \gamma =\frac{b}{a}

Siehe auch

Satz des Pythagoras

Weblinks

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