Stammfunktionen

Aus mkDoc | wiki

Wechseln zu: Navigation, Suche

Inhaltsverzeichnis

Funktion $f (x)$	Stammfunktion $F (x)$
$0\;$	$C\;$
$k\;(k\in\R)$	$kx\;$
$x^n\;$	$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{n+1}x^{n+1} & \mbox{wenn }n\neq-1 \\ \ln \left\| x \right\| & \mbox{wenn } n=-1 \end{matrix}\right.$
$f'_{(x)} f_{(x)}^n\;$	$\frac{1}{n+1}f_{(x)}^{n+1}\;$
$nx^{n-1} \,$	$x^n,\quad n\neq0$
$x\;$	$\tfrac12 x^2\;$
$2x\;$	$x^2\;$
$x^2\;$	$\tfrac13 x^3\;$
$\sqrt x\;$	$\tfrac23 x^\tfrac32\;$
$3x^2\;$	$x^3\;$
$\frac{1}{2 \sqrt{x}}\;$	$\sqrt{x}\;$
$\frac{1}{n (\sqrt[n]{x})^{n-1}}\;$	$\sqrt[n]{x}\;$
$-\frac{2}{x^3}\;$	$\frac{1}{x^2}\;$
$-\frac{1}{x^2}\;$	$\frac{1}{x}\;$

Funktion $f (x)$	Stammfunktion $F (x)$
$e^x\;$	$e^x\;$
$e^{kx}\;$	$\frac{1}{k}e^{kx}\;$
$a^x\ln a\;(a>0)$	$a^x\;$
$a^x\;$	$\frac{a^x}{\ln a}\;$
$x x (1 + ln(x))$	$x x$ $(x > 0)$
$e^{x \ln \left\| x \right\|}(\ln \left\| x \right\| + 1)\;$	$\left\| x \right\|^x =$ $e^{x \ln \left\| x \right\|}$ $(x\neq 0)$
$\frac{1}{x}\;$	$\ln \left\| x \right\| \;$
$\ln x\;$	$x\ln x -x\;$
$u'(x) \ln u(x)\;$	$u(x) \ln u(x) - u(x)\;$
$\frac{1}{x}\ln^{n}x \;\;(n\neq-1)\;$	$\frac{1}{n+1}\ln^{n+1}x\;$
$\frac{1}{x}\ln{x^n} \;\; (n\neq0)\;$	$\frac{1}{2n}\ln^2{x^n}\;$
$\frac{1}{x}\frac{1}{\ln a}\;$	$\log_a x\;$
$\frac{1}{x\ln x}\;$	$\ln\left\| \ln x \right\| \;$ für (x > 0, x ≠ 1)
$\log_a x\;$	$\frac{1}{\ln a}(x\ln x -x)\;$
$\sqrt{a^2 - x^2}$	$\frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin \left(\frac{x}{a} \right)$
$\sqrt{a^2 + x^2}$	$\frac{x}{2}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{a^2}{2} \ln \left(x + \sqrt{a^2 + x^2} \right)$

Funktion $f (x)$	Stammfunktion $F (x)$
$\sin x\;$	$-\cos x\;$
$\cos x\;$	$\sin x\;$
$\tan x\;$	$-\ln\|\cos x\|\;$
$\cot x\;$	$\ln\|\sin x\|\;$
$\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x\;$	$\tan x\;$
$\frac{-1}{\sin^2 x}=-(1+\cot^2 x)\;$	$\cot x\;$
$\arcsin x\;$	$x\arcsin x +\sqrt {1-x^2}\;$
$\arccos x\;$	$x\arccos x -\sqrt {1-x^2}\;$
$\arctan x\;$	$x \arctan x -\tfrac12 \ln \left(1+x^2 \right)\;$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\;$	$\arcsin x\;$
$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\;$	$\arccos x\;$
$\frac {1} {x^2+1}\;$	$\arctan x\;$
$\frac {x^2} {x^2+1}\;$	$x - \arctan x\;$
$\frac {1} {(x^2+1)^2}\;$	$\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x^2+1}+\arctan x\right)\;$
$\sinh x\;$	$\cosh x\;$
$\cosh x\;$	$\sinh x\;$
$\tanh x\;$	$\ln \cosh x\;$
$\coth x\;$	$\ln\|\sinh x\|\;$
$\frac{1}{\cosh^2 x} =1-\tanh^2 x\;$	$\tanh x\;$
$\frac{-1}{\sinh^2 x} =1-\coth^2 x\;$	$\coth x\;$
$\operatorname{arsinh}\;x\;$	$x\;\operatorname{arsinh}\;x -\sqrt{x^2+1}\;$
$\operatorname{arcosh}\;x\;$	$x\;\operatorname{arcosh}\;x -\sqrt{x^2-1}\;$
$\operatorname{artanh}\;x\;$	$x\;\operatorname{artanh}\;x +\frac{1}{2}\ln{\left(1-x^2\right)}\;$
$\operatorname{arcoth}\;x\;$	$x\;\operatorname{arcoth}\;x +\frac{1}{2}\ln{\left(x^2-1\right)}\;$
$\frac{1}{\sqrt {x^2+1}}\;$	$\operatorname{arsinh}\;x\;$
$\frac{1}{\sqrt {x^2-1}}\;,\;x>1$	$\operatorname{arcosh}\;x\;$
$\frac{1}{1-x^2}\;,\;\left\| x \right\|<1$	$\operatorname{artanh}\;x\;$
$\frac{1}{1-x^2}\;,\;\left\| x \right\|>1$	$\operatorname{arcoth}\;x\;$
$\sin^{2} k x\;$	$\frac{x}2 - \frac{\sin(2 k x)}{4k}$
$\cos^{2} k x\;$	$\frac{x}2 + \frac{\sin(2 k x)}{4k}$

Funktion $f (x)$	Stammfunktion $F (x)$
$e^{-x^2}$	$\frac{\sqrt{\pi}}{2}\;\operatorname{Erf}\;x$
$e^{-a x^2 + b x + c}$	$\frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{a}}\;e^{\frac{b^2}{4 a} + c}\;\operatorname{Erf}\;\left(\sqrt{a}\;x - \frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)$
$\frac {u'(x)} {u(x)}$	$\ln \left\| u(x) \right\| \,$
$u'(x) \cdot u(x)$	$\tfrac12 (u(x))^2$