Spatprodukt

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Berechnung 

Das Spatprodukt ist die Verknüpfung einer vektoriellen mit einer Skalarmultiplikation. 
Dieses Spatprodukt entsteht bei der Berechnung des Volumens eines Parallelepipeds, 
eines Körpers, der von sechs paarweise parallelen Flächen begrnzt wird und den man 
sich von den drei Vektoren a, b, c erzeugt denken kann.

Grundfläche zwischen den Vektoren b und c

A = \left| b \right| \cdot h = \left| b \right| \cdot \left| c \right| \cdot sin\alpha =\left| b \right| \cdot \left| c \right| \cdot sin(b,c) = \left| b \times c \right|

Parallelogrammfläche mit Richtung und senkrechter Orientierung nach der Rechtsschraubregel

A =\left| b \right| \cdot \left| c \right| \cdot sin(b,c) \cdot e_{SR} = \left| b \times c \right|

Volumen des Spates

V = \left| a \cdot A \right| = \left| a \cdot \left( b \times c \right) \right| = \left| \left\langle a^T(b \times c) \right\rangle \right|

Berechnung des Spates

V = \left| \left\langle a^T \cdot \begin{bmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{bmatrix} \right\rangle \right| = \left| \left\langle \left\langle a_1a_2a_3 \right\rangle \cdot \begin{bmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{bmatrix} \right\rangle \right|

V = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{bmatrix}

Das Volumen ist der Betrag der Determinante !!!

Beispiel

Siehe auch

Weblinks

Von „http://www.mkdoc.de/wiki/Spatprodukt“
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