Quadratische Funktionen

Unter einer quadratischen Funktion versteht man ein Funktion, die in der Form siehe Definition, vorliegt. Es handelt sich hierbei um ein Polynom zweiten Grades.

Definition

Normalform

$f(x) = a x^2 + b x + c \;$ mit $a \ne 0$

Scheitelform (auch Scheitelpunktform)

$y = \left( x + a \right)^2 + b \;$

Funktionsgrafen von quadratischen Funktionen

Eine Normalparadbel mit der Funktion $y = x^2 \;$ kann in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden, indem eine Wertetabelle nach folgendem Beispiel erstellt wird.

x y A -3 9 B -2 4 C -1 1 D 0 0 E 1 1 F 2 4 G 3 9

Verschiebung von Funktionsgrafen auf der x-Achse

Verschiebt man die Normalparabel $y = x^2 \;$ um $-a \;$ auf der x-Achse, so erhält man $y = \left( x + a \right)^2 \;$. Der Funktionsgraf von $y = \left( x + a \right)^2 \;$ ist also eine Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $\left(-a;\ 0 \right)\;$. Es hängt nur vom Vorzeichen ab, ob die Parabel nach links, oder nach rechts verschoben wird.

• Ist $a \;$ positiv, so ist $-a \;$ negativ oder
• ist $a \;$ negativ, so ist $-a \;$ positiv.

Verschiebung von Funktionsgrafen auf der x- und y-Achse

Liegt eine quadratische Funktion in der Form $y = \left( x + a \right)^2 + b \;$ vor, verschiebt man die Normalparabel um $-a \;$ entlang der x-Achse und dann um $b \;$ entlang der y-Achse. Der Scheitelpunkt ist somit durch $\left(-a;\ b \right)\;$ definiert.

Liegt die Funktion in der Form $y = x^2 + p x + q \;$ vor, kann $a \;$ und $b \;$ wie folgt ermittelt werden.

$a = \cfrac{p}{2};$

$b = q - \cfrac{p^2}{4} \;$

Siehe auch

• Funktionen
• Gleichungen
• Lineare Funktion
• Formelsammlung Mathematik
• Formelsammlung Höhere Mathematik

Weblinks

• arndt-bruenner.de Der Scheitelpunkt quadratischer Funktionen.