Optimierungsverfahren
Bei den Optimierungsverfahren (Operation Research) der Investitions- und Finanzplanung werden die Parameter der Zielfunktion so gelegt, dass sich ein Minimum oder Maximum ergibt.
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Optimierungsverfahren
Optimierungsverfahren werden grundsätzlich in zwei Vorgehensweisen unterschieden:
Lineare Optimierung
Bei der linearen Optimierung müssen die Zielfunktion (Berechnung des Maximums) und die Nebenbedingungen linear sein. Nebenbedingungen sind Engpässe (fehlende Finanzmittel,...) oder Einschränkungen.
Beispiel aus der Produktionsplanung (zweidimensional)
Eine Firma stellt zwei verschiedene Produkte her, für deren Fertigung drei Maschinen A, B, C zur Verfügung stehen. Diese Maschinen haben eine maximale monatliche Laufzeit (Kapazität) von 170 Stunden (A), 150 Stunden (B) bzw. 180 Stunden (C). Eine Mengeneinheit (ME) von Produkt 1 liefert einen Deckungsbeitrag von 300 Euro, eine ME von Produkt 2 dagegen 500 Euro. Fertigt man eine ME von Produkt 1, dann benötigt man dafür eine Stunde die Maschine A und eine Stunde die Maschine B. Eine Einheit von Produkt 2 belegt zwei Stunden lang Maschine A, eine Stunde Maschine B und drei Stunden Maschine C. Ziel ist es, Produktionsmengen zu bestimmen, die den Deckungsbeitrag der Firma maximieren, ohne die Maschinenkapazitäten zu überschreiten. Fixkosten können in dem Optimierungsproblem ignoriert und anschließend dazuaddiert werden, da sie per Definition unabhängig von den zu bestimmenden Produktionsmengen sind.
Mathematische Modellierung
Angenommen, der Betrieb fertigt pro Monat x1 ME von Produkt 1 und x2 ME von Produkt 2. Dann beträgt der Gesamtdeckungsbeitrag
Diesen Wert möchte die Firma maximieren. Da die Maschinenkapazitäten eingehalten werden müssen, ergeben sich die Nebenbedingungen:
Da außerdem keine negativen Produktionsmengen möglich sind, muss 
gelten (Nichtnegativitätsbedingung).
Geometrische Interpretation als Polyeder
Im nebenstehenden Bild sind die Ungleichungen aus dem obigen Beispiel als türkise, schwarze und violette Beschränkungen eingezeichnet. Zusammen definieren sie das (blau umrandete) Polyeder der zulässigen Punkte. Die rotgestrichelten Linien stellen Iso-Gewinnfunktionen dar, d. h. alle Punkte auf einer solchen Linie haben denselben Zielfunktionswert. Da die Firma möglichst viel produzieren will, ist das Ziel der Optimierung, solch eine rot gestrichelte Linie soweit nach rechts oben zu schieben, so dass sie gerade noch das Polyeder berührt. Alle Berührungspunkte sind dann optimal. In diesem Fall ist der Punkt (130,20) die eindeutige optimale Ecke, und der optimale Zielfunktionswert beträgt 49.000 Euro.
Im allgemeinen ist die Optimallösung eines linearen Optimierungsproblems allerdings weder eindeutig noch ganzzahlig. Wenn beispielsweise beide Produkte den gleichen Deckungsbeitrag hätten, wären die roten Iso-Gewinnfunktionen parallel zur Ungleichung 
. In diesem Fall wäre jeder Punkt auf der Strecke zwischen (130,20) und (150,0) optimal, es gäbe also unendliche viele Optimallösungen.
