Mengen

Definition

Unter einer Menge $M \;$ versteht man die Zusammenfassung gewisser wohlunterschiedener Objekte, Elemente genannt, zu einer Einheit.

In einer Menge kann nichts doppelt vorkommen.

• $a \in M : a \;$ ist ein Element von $M \;$ ($a \;$ gehört zur Menge $M \;$)
• $a \not\in M : a \;$ ist kein Element von $M \;$ ($a \;$ gehört nicht zur Menge $M \;$)

Beispiel

Für $A = {1,2,3,4} \;$ ist $1 \in A \;$ und $3 \in A \;$, aber $5 \not\in A \;$.

Für $B = {1,2,3,4,\cdots} \;$ ist $5 \in A \;$ und $17 \in A \;$, aber $17,5 \not\in A \;$.

Mengenoperationen

Durchschnitt zweier Mengen

Die Schnittmenge $A \cap B \;$ zweier Mengen $A \;$ und $B \;$ ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu $A \;$ als auch zu $B \;$ gehören (Konjunktion, UND, sowohl ... als auch).

Vereinigung zweier Mengen

Die Vereinigungsmenge $A \cup B \;$ zweier Mengen $A \;$ und $B \;$ ist die Menge aller Elemente, die zu $A \;$ oder zu $B \;$ oder zu beiden gehören (Alternative, oder).

Differenz zweier Mengen

Die Differenz- oder Restmenge $A \setminus B \;$ zweier Mengen $A \;$ und $B \;$ ist die Menge aller Elemente, die zu $A \;$ aber nicht zu $B \;$ gehören.

Teilmenge

Eine Menge $A \;$ heißt Teilmenge einer Menge $B \;$, wenn jedes Element von $A \;$ auch zur Menge von $B \;$ gehört. Symbolische Schreibweise: $A \subseteq B \;$ $A \;$ heißt Untermenge $B \;$ heißt Obermenge Wenn $A \;$ keine Teilmenge von $B \;$ ist, schreibt man $A \not\subseteq B \;$

Leere Menge

Eine Menge heißt leer, wenn sie kein Element enthält.

Symbolische Schreibweise: ${}, \ \empty \;$

Jede Menge $A \;$ hat die leere Menge als Teilmenge, das heißt $\empty \subseteq A \;$

Potenzmenge

Die 'Potenzmenge $P(A) \;$ von $A \;$ ist die Menge aller Teilmengen von $A \;$.

$P(A) = 2^n \;$

• $n \;$ = Anzahl Elemente der Menge $A \;$

Kardinalität

Unter Kardinalität oder auch Mächtigkeit von $A \;$ versteht die Anzahl der Elemente von $A \;$. Die Kardinalität wird als $|A| \;$ oder auch als #$A \;$ bezeichnet. Hat $A \;$ unendlich viele Elemente, so sagt man, $A \;$ hat die Kardinalität unendlich und schreibt dafür $|A| = \infty \;$,

$|A| = n \;$

• $n \;$ = Anzahl Elemente der Menge $A \;$

Komplementmenge

Sind $M \;$ und $A \;$ Mengen, und $A \;$ eine Teilmenge von $M \;$, so heißt die Komplementmenge von $A \;$ bezüglich der Grundmenge $M \;$ wie folgt:

$\bar A = M \backslash A\;$

Siehe auch

• Zahlenmengen
• Kartesisches Produkt
• Relationen