Lineare Gleichungssysteme

Begriffserklärungen

Ein lineares Gleichungssystem (auch LGS) besteht aus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen, die alle nur in der ersten Potenz vorkommen, nicht miteinander multipliziert und nicht als Argument nichtlinearer Funktionen erscheinen.

Beispiel eines linearen Gleichungssystems

Ein entsprechendes System für drei Unbekannte x₁, x₂, x₃ sieht beispielsweise wie folgt aus:

$\begin{matrix} 3x_1 & + & 2x_2 & - & x_3 & = & 1\\ 2x_1 & - & 2x_2 & + & 4x_3 & = & -2\\ -x_1 & + & {1 \over 2}x_2 & - & x_3 & = & 0 \end{matrix}$

Gleichungssysteme als Matritzenform

$\left(\begin{matrix} -x_1 & + & 8x_2 & + & 3x_3 \\ 2x_1 & + & 4x_2 & - & x_3 \\ 3x_1 & & & - & 2x_3 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\right) \Leftrightarrow \underbrace { \left(\begin{matrix} -1 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \\ 3 & 0 & -2 \end{matrix}\right)}_A \cdot \underbrace { \left(\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix}\right)}_x = \underbrace { \left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\right)}_b$

• Die Matrix vom Typ (3,3) wird als Koeffizientenmatrix A bezeichnet.
• Die einspaltige Matrix mit den drei Variablen wird als Variablenvektor oder Lösungsvektor x bezeichnet.
• Die einspaltige Zahlenmatrix wird als Störvektor oder Steuervektor b bezeichnet.

Die Matrix aus den Koeffizienten und dem Störvektor vom Typ (3,4) wird als erweiterte Koeffizientenmatrix bezeichnet.

$B = \left(A \mid b \right) = \left(\begin{matrix} -1 & 8 & 3 & \mid & 2\\ 2 & 4 & -1 & \mid & 1\\ 3 & 0 & -2 & \mid & 1 \end{matrix}\right)$

Definition

Ein Gleichungssystem der Form

$\begin{matrix} a_{11} x_1 & + & a_{12} x_2 & + &\cdots& + & a_{1n} x_n & = & b_1\\ a_{21} x_1 & + & a_{22} x_2 & + &\cdots & + & a_{2n} x_n & = & b_2\\ &&&\vdots&\\ a_{m1} x_1 & + & a_{m2} x_2 & + & \cdots & + & a_{mn} x_n & = & b_m\\ \end{matrix}$

heißt lineares Gleichungssystem von m Gleichungen mit n Variablen. Dabei bezeichnet man die linken Seiten der einzelnen linearen Gleichungen,

$\sum_{k=1}^n a_{ik}x_k = b_i \ ; \ \ \ \ \ a_{ik}, b_i \in \mathbb{R} \ ; \ \ \ \ i = 1, \dots, m,$

als Linearform (im Unterschied zu den quadratischen Formen).

Eine äquivalente Darstellung des linearen Geleichungssystems ist die Matrizengleichung

$A \cdot x = b \;$

mit der Koeffizientenmatrix A

$\underbrace { \left(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots&\vdots&&\vdots&\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{matrix}\right)}_{A\ =\ Koeffizientenmatrix}$,

dem Lösungsvektor x

$\underbrace { \left(\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix}\right)}_{x\ =\ L\ddot osungsvektor}$

und dem Störvektor b

$\underbrace { \left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{matrix}\right)}_{b\ =\ St\ddot orsvektor}$.

Die kombinierte Matix aus Koeffizientenmatix und Störvektor ergibt die erweiterte Koeffizientenmatix B

$\underbrace { \left(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots&\vdots&&\vdots& \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{matrix}\right)}_{B\ =\ erweiterte\ Koeffizientenmatrix}$.

Homogenes lineares Gleichungssystem

Ein lineares Gleichungssystem $A \cdot x = b \;$ heißt homogen, wenn für den Störvektor $b = 0 \;$ gilt. Das bedeutet, dass für alle Elemente $b_i \;$ des Vektors $b \;$ gilt: $b_i = 0 \;$

Inhomogenes lineares Gleichungssystem

Ein lineares Gleichungssystem $A \cdot x = b \;$ heißt inhomogen, wenn für den Störvektor $b \not= 0 \;$ gilt. Sobald ein Element $b_k \not= 0 \;$ ist, so gilt auch $b \not= 0 \;$ und das Gleichungssystem wird als inhomogen bezeichnet.

Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme

• Gleichsetzungsverfahren Techniker
• Einsetzungsverfahren Techniker
• Additionsverfahren Techniker
• Gauss-Algorithmus Studium

Weblinks

• arndt-bruenner.de Rechner zum Lösen linearer Gleichungssysteme