Integralrechnung

Aus mkDoc | wiki

Wechseln zu: Navigation, Suche

Integral

Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin der Analysis. Sie entstand aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung.

Inhaltsverzeichnis

1 Berechnung
- 1.1 Regeln
- 1.2 Grundintegrale (unbestimmtes Integral)
2 Siehe auch
3 Geschichte
4 Weblinks

Berechnung

Ein Ziel der Integralrechnung ist die Berechnung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter Bereiche der Ebene. In den meisten in der Praxis auftretenden Fällen sind derartige Flächen beschrieben durch zwei stetige Funktionen $f,g\;$ auf einem kompakten Intervall $[a,b]\;$ , deren Graphen die Fläche begrenzen (linkes Bild).

Der Flächeninhalt der schraffierten Fläche im linken Bild ist gleich der Differenz der schraffierten Bereiche in den beiden rechten Bildern. Es genügt also, sich auf den einfacheren Fall einer Fläche zu beschränken, die von

dem Graphen einer Funktion,
zwei vertikalen Geraden $x=a\;$ und $x=b\;$
sowie der $x\;$ -Achse

begrenzt wird.

Auf Grund seiner fundamentalen Bedeutung erhält dieser Typ Flächeninhalt eine spezielle Bezeichnung: $\int_a^b f(x)\,\mathrm dx,$ gelesen als Integral von $a$ bis $b$ über (oder: von) $f(x)\,\mathrm dx$ .

Bestimmtes Integral:

$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx = \lim_{n\to 0} \sum_{i=1}^n{f(y_i)(x_i-x_{i-1})}$

$d_x\;$ symbolisiert die Differenz der x-Werte $x_i-x_{i-1}\;$ und $f(x)\;$ ist die Höhe des jeweiligen Rechtecks.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=F(b)-F(a)$

Allgemein hat die Funktion $f(x)=x^n\;$ die Stammfunktion $F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}\;$ und deshalb gilt:

$\int_a^b x^n\,\mathrm dx=F(b)-F(a)=\frac{b^{n+1}}{n+1}-\frac{a^{n+1}}{n+1}$

Regeln

$\int_a^b(f(x)+g(x))\,\mathrm dx=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx+\int_a^b g(x)\,\mathrm dx$

$\int_a^b(\lambda f(x))\,\mathrm dx = \lambda\cdot\int_a^b f(x)\,\mathrm dx$

Grundintegrale (unbestimmtes Integral)

Integral $f (x)$	Stammfunktion $F (x)$
$\int x^n\,\mathrm dx \;$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \;$
$\int\frac{1}{x}\,\mathrm dx \;$	$\ln \left\| x \right\|+C \;$
$\int e^x\,\mathrm dx \;$	$e^x+C \;$
$\int e^{ax}\,\mathrm dx \;$	$\frac{1}{a}e^{ax}+C \;$
$\int\sin x\,\mathrm dx \;$	$-\cos x +C \;$
$\int\cos x\,\mathrm dx \;$	$\sin x+C \;$
$\int\tan x\,\mathrm dx \;$	$-\ln\|\cos x\|+C \;$
$\int\cot x\,\mathrm dx \;$	$\ln\|\sin x\|+C \;$
$\int\frac{1}{\cos^2 x} \;$	$\tan x+C \;$
$\int\frac{-1}{\sin^2 x}) \;$	$\cot x+C \;$