Differentialrechnung

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Inhaltsverzeichnis

Berechnung

Ableitung

Differentialquotient

\lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0 +h) - f(x_0)}{h}

Ableitung

f'(x)=n \cdot x^{n-1}

Berechnung der Tangente

y = f'(x_0) \cdot x + f(x_0) - f'(x_0) \cdot x_0 \; 

Zwei Tangenten sind parallel, wenn die Ableitungen gleich sind

Berechnung der Normalen

y = -\frac{1}{f'(x_0)} \cdot x + f(x_0) + \frac{x_0} {f'(x_0)}\;

Regeln

Konstante Funktion \left(a\right)' = 0

Faktorregel (a\cdot f)' = a\cdot f'

Summenregel \left(g \pm h\right)' = g' \pm h'

Produktregel (g\cdot h)' = g' \cdot h + g \cdot h'

Quotientenregel \left(\frac{g}{h}\right)' = \frac{g' \cdot h - g \cdot h'}{h^2}

Potenzregel \left(x^n\right)' = n x^{n-1}

Kettenregel (g \circ h)'(x) = (g(h(x)))' = g'(h(x))\cdot h'(x)


Umkehrregel

Ist f \; eine an der Stelle x_0 \; differenzierbare, bijektive Funktion mit f'(x_0)\neq 0\;, und ihre Umkehrfunktion f^{-1}\; bei f(x_0) \; differenzierbar, dann gilt: (f^{-1})'(f(x_0)) = \frac{1}{f'(x_0)}. Spiegelt man einen Punkt P \; des Graphen von f \; an der 1. Mediane und erhält damit P^* \; auf f^{-1} \;, so ist die Steigung von f^{-1} \; in P^* \; der Kehrwert der Steigung von f \; in P \;


Logarithmische Ableitung

Aus der Kettenregel folgt für die Ableitung des natürlichen Logarithmus einer Funktion f \;: (\ln(f))' = \frac{f'}{f} Ein Bruch der Form f\,'/ f \; wird logarithmische Ableitung genannt.

Geschichte

Weblinks

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